An eigenvalue is a special scalar associated with a 線形変換 represented by a square matrix. It is defined as the value λ for which there exists a non-zero vector v (known as the eigenvector）次の方程式が成り立つように：
A * v = λ * v
この式において、 A is the matrix representing the linear transformation, and v is the eigenvector that does not change direction during the transformation—only its ただし、その大きさだけが変化します。固有値 λ はこの大きさの変化を定量化します。
固有値の概念は、さまざまな分野で重要です mathematics, physics, and engineering, particularly in システム解析, stability analysis, and vibration analysis. Eigenvalues can reveal important properties of a system, such as its stability and oscillatory behavior. For instance, in mechanical systems, the eigenvalues can indicate the natural frequencies of vibration.
行列の固有値を計算するには、通常、次の 固有値方程式を解きます, which is derived from the determinant of the matrix subtracted by λ times the identity matrix set to zero:
det(A – λ * I) = 0
この方程式を解くことで固有値を得ることができ、これらの値を元の方程式に代入することで対応する固有ベクトルを求めることができます。
要約すると、固有値は線形変換の挙動を理解する上で基本的なものであり、多くの科学および工学の応用分野で重要な役割を果たしています。