Bilinear interpolation is a mathematical technique used for estimating unknown values that fall within a grid of known values. It extends 線形補間 to two dimensions, making it particularly useful in applications such as 画像処理, コンピュータグラフィックス, and geographical 情報システム.
この方法は、四つの既知の点（長方形の角）からなる長方形の格子を取り、その長方形内に位置する未知の点の値を推定することによって機能します。この過程は二段階の線形補間を含みます：
- まず、一方向（通常はx方向）に線形補間を行い、長方形の辺に沿った中間値を見つけます。
- 次に、これらの中間値をもう一つの方向（y方向）に補間し、目的の点での最終的な推定値に到達します。
数学的には、四つの点：(x₁, y₁)、(x₂, y₁)、(x₁, y₂)、(x₂, y₂)と、それぞれの既知の値Z₁、Z₂、Z₃、Z₄がある場合、バイリニア補間の式は次のように表されます：
Z(x, y) = (Z₁(1 – a)(1 – b) + Z₂a(1 – b) + Z₃(1 – a)b + Z₄ab)
ただし：
- a = (x – x₁) / (x₂ – x₁)
- b = (y – y₁) / (y₂ – y₁)
Bilinear interpolation is widely used due to its simplicity and efficiency in generating smooth transitions between data points, making it a popular choice in various applications including image scaling, texture mapping in 3D graphics, and surface fitting in データ分析.